布朗运动首中时逻辑悖论

“悖论”是英文paradox一词的意译，从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴–希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

一、布朗运动定义

设x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移（图1），x(0)=0，定义

（1）x(t)为平稳独立增量过程；

（2）x(t)～N(0，σ² t)，其中σ>0为常数；

（3）x(t)是t的连续函数。

则称x(t)是参数为σ²的布朗运动，或维纳过程。

图1 布朗粒子位移曲线

二、首中时逻辑悖论

假设T_a为布朗粒子首次到达图1中a位置的首中时（Hitting Time），则首中位置x(T_a)= a为常数。

根据布朗运动定义x(t)～N(0，σ² t)的性质，可得x(T_a) 的数学期望和方差

E[x(T_a)]=0

D[x(T_a)]= σ²T_a

但是，根据x(T_a)= a也可直接计算出x(T_a)的数学期望和方差

E[x(T_a)]= a

D[x(T_a)]=0

显然，与布朗运动或维纳过程定义给出的数学期望和方差矛盾。

三、结论

科学理论是具有一定逻辑结构的理论体系，必然要求内部逻辑的完备性，科学理论内部必须要在逻辑上自洽，不应出现自相矛盾的逻辑悖论。逻辑完备性是判断科学理论客观真理性的重要评价标准之一，一旦在某个科学理论中发现了逻辑悖论，则表明该理论的逻辑完备性遭到破坏，该理论被证伪，该理论内部存在重大科学问题。爱因斯坦曾经说过：“相对论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的。”