中国社科在线本文介绍近代数学的若干个数学学派。篇幅较短，只是希望读者能有一个大致的认识。就好比逛一下博物馆，先做走马观花状，待于一处兴致颇浓，再做深入研究，也未尝不可。其实，学习各学派发展的兴衰史，有助于我们了解数学自身的发展规律，包括数学在一个地区或国家发展兴衰的启示。
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格丁根学派
德国19世纪20年代到20世纪20年代，由高斯(Gauss)创始，黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann)、克莱因(Felix Christian Klein)、希尔伯特(David Hilbert)等人发展致盛，在世界数学史中长期占主导地位的学派。格丁根学派强调数学的统一性，重视纯粹数学和应用数学，将数学理论与近代工程技术紧密结合。格丁根学派“兵多将广”且代代相接，学科齐全且长期保持着高度创造力。然而到20世纪30年代，纳粹执政后的疯狂民族主义导致该学派日渐衰退。
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柏林学派
19世纪下半叶到20世纪初，德国柏林兴起的数学学派，其代表人物为外尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass)、弗罗贝尼乌斯(Frobenius Ferdinand Georg)、基灵(Wilhelm Killing)等人。柏林学派主要从事数学分析、符号代数和几何基础方面的研究。虽然柏林学派不受限于共同的研究方向，但有着一致的哲学观点，指导研究工作。
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彼得堡学派
19世纪下半叶到20世纪初，在俄国圣彼得堡城兴起的学派，其代表人物为切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人。彼得堡学派的主要特征是数学理论与实际应用紧密地结合，并在应用数学中做出了较大贡献。
彼得堡学派是俄国(苏联)最早的数学学派，对苏联近代数学的发展产生过巨大影响。20世纪中，圣彼得堡(列宁格勒)又出现了坎托罗维奇等现代数学家，他们在继承和发展彼得堡学派的理论及传统方面做出了的贡献。
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意大利代数几何学派
19世纪60年代兴起于意大利，由布廖斯基(Brioschi Francesco)、贝蒂(Enrico Betti)和克雷莫纳(Cremona,Antonio)“掌门”。该学派的工作在性质上属于古典代数几何，有着自己的风格和研究主题，代表了代数几何发展中的几何倾向，对意大利数学的全面发展有深远影响。
19世纪50年代开始，意大利数学家与欧洲数学有了广泛交流，使意大利摆脱了闭塞落后的局面。1863年，波伦亚大学的数学教授克雷莫纳给出平面曲线一般变换理论的阐述，此后又发展了被称为克雷莫纳变换：任意维射影空间的射影平面与有理平面的双有理变换理论。他的一系列工作成为意大利代数几何研究的起点，并激发了许多数学家的研究。
19世纪90年代后，意大利第二代代数几何学家成长起来，其中塞格雷(Segre Beniamino)于1894年扩展应用了曲线族中曲线在一条曲线上截得点的线性系的思想，启示后人发现许多新的双有理不变性质。19世纪末卡斯泰尔诺沃(Guido Castelnuovo)与恩里克斯(Federigo Enriques)开始合作，以线性系为中心概念进行研究。利用克雷莫纳变换奠定了代数曲面中曲线的线性系理论，并对曲面分类理论进行了深刻的研究。塞维里(Severi, Francesco)师从塞格雷，完善了代数曲面双有理不变量理论，并推广到任意维代数族上。他还建立了代数几何中的基础理论，为代数曲面上零维团链理论打下了基础。
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法国函数论学派
19世纪末兴起于法国巴黎高等师范学校，以阿达马(Jacques Solomon Hadamard)、波莱尔(Borel Emile)、贝尔(Baire René-Louis)、勒贝格(Henri Léon Lebesgue)等人为代表。
在20世纪初，法国函数论学派吸引了世界各地的学生，推动了世界函数论的发展。第一次世界大战使法国科学研究遭受重创，函数论学派的没落。法国数学在战后逐渐转向应用领域和公理化方法。
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普林斯顿学派
美国数学在19世纪后期才逐渐与欧洲数学接轨，而普林斯顿学派于20世纪初兴起于美国普林斯顿，并一直延续到20世纪50年代，以范因(H.B.Fine)、维布伦(Veblen Oswald)、外尔(Hermann Weyl)、莫尔斯(Morse HaroldMarston)等人为代表。普林斯顿学派既在微分几何与拓扑学的传统优势中引进新的工具，又开拓数学物理等新领域。以优势学科带动其他学科全面发展，以数学理论研究推动科学应用，并广泛开展国际交流与合作，是现代数学的发展的一种非常成功的模式。
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莫斯科学派
20世纪初的苏联在莫斯科创立的学派，又细分为两个侧重不同的学派：由叶戈洛夫和卢津创始，柯尔莫哥洛夫等人发扬光大的函数论学派;以亚历山德罗夫、乌雷松、庞特里亚金等人为代表拓扑学派。
莫斯科学派将函数论作为工具，在拓扑学、微分方程、概率论等几个方面都获得长足发展，其中有较著名数学成果的还有索伯列夫的现代微分方程理论、辛钦的概率研究、盖尔范德的泛函分析与代数成就等。近年来莫斯科数学界仍然新人辈出，在他们中诺维科夫和马尔库利斯分别荣获1970年和1978年度菲尔兹奖。
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剑桥分析学派
20世纪上半叶以英国剑桥大学为中心兴起，以哈代(Hardy Godfrey Harold)和李特尔伍德(John Edensor Littlewood)为代表的学派。剑桥大学自牛顿时代开始一直是英国的数学中心，而数学在其教学体制中又占有重要地位。1837年，剑桥数学杂志创刊，供年轻数学家发表研究成果。
剑桥分析学派将严密化的分析及积分方程、测度等工具用于数论、函数论研究，发展起圆法等重要的分析方法，并解决了一大批数学问题。这种将纯粹数学与应用数学互相补充、共同发展的风格扩大到分析学的研究领域，促进了数学各分支的协调发展。
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波兰学派
波兰学派兴起于两次世界大战间，依据地点一般又细分为华沙学派和利沃夫学派。华沙学派以1920年创刊的《数学基础》杂志为形成标志;利沃夫学派则以1929年创刊的《数学研究》杂志为代表。两学派的成员分别在两份杂志上发表文章，两份杂志也因此成为了国际上重要的数学杂志。谢尔品斯基(Sierpimski Wactaw)、尼谢夫斯基(Janiszewski Zygmunt)、马祖尔克维奇(Mazurkiewicz)是波兰学派的创始人。他们都曾在华沙大学工作，一起创办了《数学基础》，贡献领域主要在集合论和拓扑学。同时非常注意科学团体的组织建设，以学派刊物为中心，吸引和培养了一大批优秀的数学家。利沃夫学派的代表人物是巴拿赫(Stefan Banach)、施坦豪斯(Steinhaus Hugo Dyonizy)、库拉托夫斯基(Kuratowski Kazimierz)、乌拉姆等人，他们先后学习或执教于利沃夫技术大学，主要是对泛函分析学科的创立和发展做出了贡献。学派常在一个“苏格兰咖啡馆”中聚会，提出和讨论数学问题，其中不乏影响到20世纪后半叶数学发展的问题。除此之外，波兰学派的成员还遍及克拉克夫和波兹南，也促进了波兰数学会及其他科学机构的组建。由于第二次世界大战纳粹的占领，波兰学派随之衰退，幸好战后得到数度复兴。
布尔巴基学派
20世纪30年代出现于法国，由一群青年数学家组成，借用尼古拉·布尔巴基(Nicolas Bourbaki)为集体的笔名，发表数学论文和有关数学基础问题的专著。这群青年在广泛深入地研究现代数学本质的基础上，提出用数学结构的观点对各数学分支进行统一处理，并为此撰写了鸿篇巨著《数学原理》。该书自1939年开始出版以来，已先后出版了近40卷，并陆续被译成英、日、俄等多国文字。同时，还发表500多篇综述当代数学各个领域重大成果的文章。
《数学原理》博大精深常，书中坚持严格的公理化原则，并使用新颖独特的名词术语，其理论体系以“分析的基本结构”为基础，内容包括集合论、代数学、一般拓扑学、实变函数论、拓扑向量空间、积分论。此外，还有李群与李代数、交换代数、谱理论、微分流形与解析流形等分册，书中强调数学是一门统一的结构性科学，具有三种基本结构：代数结构、序结构和拓扑结构。数学中的不同分支都是其组成部分。该观点对于丰富人们对数学的认识，推动数学的发展有重要意义，同时也影响了世界各国的数学教育。
20世纪初，直觉主义学派、逻辑主义学派和形式主义学派这3个学派，都是为解决数学基础争论而建立起来的。
